Mathe Kompakt: Grundlagen auf einen Blick

Zahlenarten auf einen Blick

Die vier wichtigsten Zahlenarten bauen aufeinander auf:

• Natürliche Zahlen (ℕ): 0, 1, 2, 3, 4 … — die Zahlen zum Zählen.
• Ganze Zahlen (ℤ): …, −2, −1, 0, 1, 2, … — plus negative Werte.
• Rationale Zahlen (ℚ): alle Zahlen, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben lassen — inklusive Dezimalzahlen mit endender oder periodischer Dezimaldarstellung.
• Reelle Zahlen (ℝ): umfassen zusätzlich irrationale Zahlen wie π oder √2, die sich nicht als Bruch schreiben lassen.

Im Alltag begegnen einem alle vier Arten: Temperaturen im Minus (ganze Zahlen), halbe Stunden oder Kontostände (rationale Zahlen), der Umfang eines Kreises (reelle Zahlen).

Die vier Grundrechenarten

Das Fachvokabular, das in Schulbüchern und Alltagstexten immer wieder auftaucht:

• Addition (+): Das Ergebnis heißt Summe. Beispiel: 3 + 4 = 7.
• Subtraktion (−): Das Ergebnis heißt Differenz. Beispiel: 9 − 4 = 5.
• Multiplikation (·): Das Ergebnis heißt Produkt. Beispiel: 6 · 7 = 42.
• Division (: oder ÷): Das Ergebnis heißt Quotient. Beispiel: 24 : 6 = 4.

Addition und Multiplikation sind kommutativ — die Reihenfolge der Zahlen spielt keine Rolle (3 + 4 = 4 + 3). Subtraktion und Division sind es nicht (9 − 4 ≠ 4 − 9).

Die Rechenreihenfolge: Punkt vor Strich

Wenn eine Aufgabe mehrere Rechenarten enthält, gilt:

1. Klammern zuerst — alles in Klammern wird vor allem anderen berechnet.
2. Punktrechnung (Multiplikation, Division) — hat Vorrang vor Strichrechnung.
3. Strichrechnung (Addition, Subtraktion) — wird zuletzt ausgeführt.
4. Bei gleicher Priorität: von links nach rechts.

Beispiele:

• 3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23 (nicht 35).
• (3 + 4) · 5 = 7 · 5 = 35.
• 20 − 6 : 2 = 20 − 3 = 17 (nicht 7).

Brüche, Dezimalzahlen und Prozente

Drei Schreibweisen für dasselbe Prinzip: Teile eines Ganzen.

• Bruch: 1/2 — Zähler / Nenner.
• Dezimalzahl: 0,5 — nach Zehnerpotenzen aufgebaut.
• Prozent: 50 % — wörtlich „von hundert“, also Bruch mit festem Nenner 100.

Umrechnungen:

• Bruch → Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen (3/4 = 3 : 4 = 0,75).
• Dezimalzahl → Prozent: mit 100 multiplizieren (0,25 · 100 = 25 %).
• Prozent → Bruch: über 100 schreiben und kürzen (20 % = 20/100 = 1/5).

Grundregeln für das Rechnen mit Brüchen:

• Addieren/Subtrahieren: Nenner müssen gleich sein. Notfalls gleichnamig machen.
• Multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
• Dividieren: Mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.
• Kürzen: Zähler und Nenner durch denselben Wert teilen.

Prozentrechnung im Alltag

Die Grundformel: Prozentwert = Grundwert · Prozentsatz / 100.

Drei Ankerwerte fürs Kopfrechnen:

• 10 %: durch 10 teilen (Komma eine Stelle nach links).
• 50 %: halbieren.
• 1 %: durch 100 teilen (Komma zwei Stellen nach links).

Alle anderen Prozentwerte lassen sich zusammensetzen: 15 % = 10 % + 5 % (also 10 % plus Hälfte davon). 20 % = 10 % · 2. 25 % = 50 % geteilt durch 2.

Mehrwertsteuer (Netto zu Brutto): mit 1,19 multiplizieren (für 19 %) oder 1,07 (für 7 %). Rückweg: durch 1,19 bzw. 1,07 teilen.

Achtung: Prozentpunkte ≠ Prozent. Steigt ein Wert von 20 % auf 25 %, sind das 5 Prozentpunkte, aber ein prozentualer Anstieg um 25 %.

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